Question

已知各項不為零的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=a₁（a_n-1）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式及其等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=a₁（a₁-1），∵a₁≠0，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=log₂a_n，
∴b_n=

log22n

2n

=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．