Question

2．已知數列{a_n}的前n項和${S_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，令b_n=log₉a_n+1．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}的前n項和為T_n，數列$\{\frac{1}{T_n}\}$的前n項和為H_n，求H₂₀₁₇．

Answer 1

分析 （1）由數列的前n項和求出數列通項公式，代入b_n=log₉a_n+1，利用對數的運算性質求得數列{b_n}的通項公式；
（2）求出數列{b_n}的前n項和為T_n，利用裂項相消法求得數列$\{\frac{1}{T_n}\}$的前n項和為H_n，則H₂₀₁₇可求．

解答 解：（1）當n=1時，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{3-1}{2}=1$；
當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{{3}^{n}-1-{3}^{n-1}+1}{2}={3}^{n-1}$．
a₁=1適合上式，
∴${a}_{n}={3}^{n-1}$．
則b_n=log₉a_n+1=$lo{g}_{9}{3}^{n}=\frac{n}{2}$，即數列{b_n}的通項公式$_{n}=\frac{n}{2}$；
（2）由$_{n}=\frac{n}{2}$，得${T}_{n}=\frac{1}{2}（1+2+3+…+n）=\frac{n（n+1）}{4}$．
則$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{4}{n（n+1）}=4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
于是${H}_{n}=4（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$4（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{4n}{n+1}$，
則${H}_{2017}=\frac{4×2017}{2018}=\frac{4034}{1009}$．

點評 本題考查數列遞推式，訓練了由數列的前n項和求數列的通項公式，訓練了利用裂項相消法求數列的和，是中檔題．