Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}$．
（Ⅰ）求f（x）的定義域及最小正周期T；
（Ⅱ）求使f（x）≥0時(shí)，x的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位后成為偶函數(shù)？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，由sinx≠0，可求f（x）的定義域，利用三角函數(shù)周期公式可求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由f（x）≥0知，$sin（2x-\frac{π}{4}）≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\frac{π}{4}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}+2kπ（k∈Z）$，即可解得x的取值范圍．
（Ⅲ）f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位后得到的函數(shù)為$y=\sqrt{2}sin[2（x+m）-\frac{π}{4}]-1$，該函數(shù)為偶函數(shù)，則需滿足$2m-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，從而解得m的值，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}=\frac{（sinx-cosx）2sinxcosx}{sinx}=2sinxcosx-2{cos^2}x$
=$sin2x-（cos2x+1）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$，
∴由sinx≠0知，x≠kπ（k∈Z），
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，
f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由f（x）≥0知，$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1≥0$即$sin（2x-\frac{π}{4}）≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}+2kπ（k∈Z）$，即$\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）≥0時(shí)，x的取值范圍為：$[\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{2}+kπ]（k∈Z）$．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位后得到的函數(shù)為$y=\sqrt{2}sin[2（x+m）-\frac{π}{4}]-1$，
即$y=\sqrt{2}sin（2x+2m-\frac{π}{4}）-1$，
若要使該函數(shù)為偶函數(shù)，則需滿足$2m-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∴$m=\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
∴存在最小正實(shí)數(shù)$m=\frac{3π}{8}$，使得函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位后為偶函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．