Question

若a、b、c均為實數(shù),且a=x²-2y+,b=y²-2z+,c=z²-2x+,求證:a、b、c中至少有一個大于0.

Answer 1

分析:利用反證法證明.

證明:(反證法)假設(shè)a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,則a+b+c≤0,

而a+b+c=x²-2y++y²-2z++z²-2x+=(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²+π-3.??

∵π-3>0,且(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²≥0,

∴a+b+c>0.這與a+b+c≤0矛盾,

因此a、b、c中至少有一個大于0.

溫馨提示:(1)證明唯一性、無理性等問題可用反證法.

(2)命題以否定形式出現(xiàn)(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”?“都不……”“沒有……”等指示性詞語，此時也可選用反證法.

(3)正難則反,即若從正面考慮解決不好入手或比較麻煩,可以從命題的反面入手解決.

(4)得出矛盾,一般有三種:一是與原命題的已知條件矛盾;二是與自身矛盾;三是與另一個已知的真命題矛盾.