Question

【題目】已知函數(shù)，且的最小值為．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；，；（2）或．

【解析】

（1）先根據(jù)二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化為（，，為常數(shù)，且，）的形式，再根據(jù)函數(shù)的最小值求實(shí)數(shù)的值，最后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將在上有僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為時(shí)，與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合即可求解．

（1）由題意知，

，

其中，

由的最小值為，得，

解得或，

∵，∴，

∴．

令，，解得，，

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．

（2）∵在上有僅有一個(gè)零點(diǎn)，

∴當(dāng)時(shí)，與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，

令，，，則與，的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)或時(shí)符合要求，

即或時(shí)符合要求，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為或．