Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax³+bx²-3a²x+1(a、b∈R)在x=x₁,x=x₂處取得極值,且|x₁-x₂|=2.

(1)若a=1,求b的值,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若a＞0,求b的取值范圍.

Answer 1

答案：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值、最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的能力.

解:f′(x)=3ax²+2bx-3a².                                                       ①

(1)當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=3x²+2bx-3.

由題意知x₁,x₂為方程3x²+2bx-3=0的兩根,

所以|x₁-x₂|=.

由|x₁-x₂|=2,得b=0.                                                           

從而f(x)=x³-3x+1,f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1).

當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f′(x)＜0;

當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí),f′(x)＞0.

故f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增.                            

(2)由①式及題意知x₁,x₂為方程3ax²+2bx-3a²=0的兩根,

所以|x₁-x₂|=.

從而|x₁-x₂|=2b²=9a²(1-a).

由上式及題設(shè)知0＜a≤1.                                                      

考慮g(a)=9a²-9a³,

g′(a)=18a-27a²=-27a(a-).                                                   

故g(a)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,1)上單調(diào)遞減,從而g(a)在(0,1］上的極大值為g()=

又g(a)在(0,1］上只有一個(gè)極值,

所以g()=為g(a)在(0,1］上的最大值,且最小值為g(1)=0.

所以b²∈［0,］,即b的取值范圍為［,］.