Question

1．如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏東60°方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民．此時，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45°方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時30海里的距離趕往C地救援我國漁民，能不能及時趕到？（$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，則△ACD是等腰直角三角形，根據(jù)AC=10海里可求出AD即CD的長，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD的長進而可得出BC的長，再根據(jù)中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度航行，某國軍艦正以每小時13海里的速度即可得出兩軍艦到達(dá)C點所用的時間，進而得出結(jié)論．

解答 解：如圖，過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D．
因為∠CAD=45°，AC=10海里，
所以△ACD是等腰直角三角形．
所以AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$（海里）．
在Rt△ABD中，因為∠DAB=60°，
所以BD=AD×tan 60°=5$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=5$\sqrt{6}$（海里）．
所以BC=BD-CD=（5$\sqrt{6}$-5$\sqrt{2}$）海里．
因為中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度航行，
某國軍艦正以每小時13海里的速度航行，
所以中國海監(jiān)船到達(dá)C點所用的時間t₁=$\frac{AC}{30}$=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$（小時），
某國軍艦到達(dá)C點所用的時間t₂=$\frac{BC}{13}$=$\frac{5×（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{13}$≈$\frac{5×（2.45-1.41）}{13}$=0.4（小時）．
因為$\frac{1}{3}$＜0.4，
所以中國海監(jiān)船能及時趕到．

點評 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．