Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-5x+2lnx，由，知f′（1）=2-5+2=-1，由此能夠求出曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程．
（II）=，令f′（x）=0，得．由此進(jìn)行分類(lèi)討論，能夠求出結(jié)果．
解答：解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-（2a+1）x+alnx=x²-5x+2lnx，
∴，
∴f′（1）=2-5+2=-1，
∵f（1）=1-5=-4，
∴曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為：x+y+3=0．
（II）=，
令f′（x）=0，得．
①當(dāng)a時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞a，或，
f（x）在，（a，+∞）是單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a=時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)時(shí)，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，或x＞，
∴f（x）在（0，a），（）上單調(diào)增加，
由f′（x）＜0，得a＜x＜，
∴f（x）在（a，）上單調(diào)遞減．
④當(dāng)a≤0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞，
∴f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0，得0＜x＜，
∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的單調(diào)性的靈活運(yùn)用．