Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC=BC=1，∠BCA=90°，AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、AA₁的中點．
（1）求證：A₁B⊥C₁M．
（2）求A₁B與CB₁所成角的余弦值．
（3）求點M到平面BNC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證C₁M⊥A₁B，可先證C₁M⊥平面AA₁B₁B，只需利用平面AA₁B₁B⊥平面A₁B₁C₁，C₁M⊥A₁B₁從而利用面面垂直的性質(zhì)可得
（2）利用平行線，可得∠CB₁E為A₁B與CB₁所成角或其補角，解△EB₁C，即可求出異面直線A₁B與B₁ C所成角的余弦值．
（3）設(shè)點M到平面BNC的距離為h，點C到平面A₁B的距離為h₁，利用V_M-NBC=V_C-MNB，轉(zhuǎn)換底面，即可求解．
解答：解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中△ABC≌△A₁B₁C₁，∴A₁C₁=B₁C₁
∵A₁M=B₁M∴C₁M⊥A₁B₁…..（2分）
又∵在直三棱柱中平面AA₁B₁B⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁，平面AA₁B₁B∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B
∴C₁M⊥A₁B…..（4分）
（2）延長AB至E，使BE=AB，連CE、B₁E
∵A₁B₁BE，∴A₁B₁EB為平行四邊形，∴A₁BB₁E
∴∠CB₁E為A₁B與CB₁所成角或其補角…（6分）
在△EBC中CE²=CB²+BE²-2CB•BEcos∠CBE=1+2-2×1××（）=5
在△EB₁C中CB₁=，B₁E=A₁B=，cos∠CB₁E===
∴A₁B與CB₁所成角的余弦值為…．…（8分）
（3）設(shè)點M到平面BNC的距離為h，點C到平面A₁B的距離為h₁
∵V_M-NBC=V_C-MNB，∴S_△BNC×h=S_△BNM×h₁…．（10分）
∵CC₁∥平面A₁B，∴點C到平面A₁B的距離h₁等于C₁M…．（11分）
∴NC×BC×h=[AB×AA₁-（A₁M×A₁N+AN×AB+BB₁×B₁M）]×C₁M
∴××1×h=[×2-（×1+1×+2×）]×
∴點M到平面BNC的距離h=…..…．（14分）
點評：本題以直三棱柱為依托，考查的知識點是異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定，熟練掌握直三棱柱的幾何特征，結(jié)合已知中其它條件尋找判斷線面垂直的相關(guān)條件是解答本題的關(guān)鍵．