Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，S_n+a_n=$\frac{1}{2}$（n²+5n+2）（n∈N）．
（1）求a₁的值，并用n和a_n表示a_n+1；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由S_n+a_n=$\frac{1}{2}$（n²+5n+2）（n∈N）．利用遞推關(guān)系即可得出${a}_{n+1}=\frac{1}{2}（{a}_{n}+n+3）$．
（2）利用（1）可得a₁=2，a₂=3，a₃=4，…，猜想a_n=n+1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）由S_n+a_n=$\frac{1}{2}$（n²+5n+2）（n∈N）．令n=1，可得2a₁=$\frac{1}{2}×8$，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1+a_n+1=$\frac{1}{2}[（n+1）^{2}+5（n+1）+2]$，
∴2a_n+1-a_n=n+3，
∴${a}_{n+1}=\frac{1}{2}（{a}_{n}+n+3）$．
（2）由a₁=2，a₂=3，a₃=4，…，
猜想a_n=n+1．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，a_k=k+1．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{1}{2}（k+1+k+3）$=（k+1）+1．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，假設(shè)成立．
綜上可得：?n∈N^*，a_n=n+1成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法，考查了猜想能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．