Question

12．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，若存在唯一的正整數(shù)n使得不等式a_n²-ta_n-2≤0成立，則實數(shù)t的取值范圍為[-1，1）．

Answer 1

分析 由a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1），$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，求的數(shù)列{a_n}的通項公式，分離變量根據(jù)n的取值即可求得t的取值范圍．

解答 解：∵a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，
∴n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）a_n-na_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n．
不等式a_n²-ta_n-2≤0化為：存在唯一的正整數(shù)n使得不等式：n²-tn-2≤0，
設(shè)f（n）=n²-tn-2，由于f（0）=-2t²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-t-2≤0}\\{f（2）=4-2t-2＞0}\end{array}\right.$，解得：-1≤t＜1，
∴實數(shù)t的取值范圍為[-1，1），
故答案為：[-1，1）．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，運用參數(shù)分離法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．