Question

（2013•湛江一模）已知點(diǎn)A是拋物線C₁：y²=2px（p＞0）與雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的交點(diǎn)，若點(diǎn)A到拋物線C₁的準(zhǔn)線的距離為p，則雙曲線的離心率等于

5

．

Answer 1

分析：取雙曲線的一條漸近線：y=

b

a

x，與拋物線方程聯(lián)立即可得到交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為p，即可得到a，b滿足的關(guān)系式，利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答：解：取雙曲線的一條漸近線：y=

b

a

x，聯(lián)立

y2=2px y= b a x

解得

x= 2pa2 b2 y= 2pa b

，故A(

2pa2

b2

，

2pa

b

)．
∵點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為p，∴

p

2

+

2pa2

b2

=p，化為

a2

b2

=

1

4

．
∴雙曲線C₂的離心率e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

5

．
故答案為

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、漸近線方程和離心率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．