Question

【題目】已知定義為的函數(shù)滿足下列條件：①對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有：

；②當(dāng)時(shí)，．

（1）求；

（2）求證：在上為增函數(shù)；

（3）若，關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）令；（2）任取，則，所以是上增函數(shù)；（3）由已知條件有：

，又

在上恒成立，令，即成立即可．然后對(duì) 取值進(jìn)行分類討論可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是．

試題解析：（1）令，恒等式可變?yōu)?/span>，解得

（2）任取，則，由題設(shè)時(shí)，，可得，

∵，

∴，

所以是上增函數(shù)

（3）由已知條件有：，

故原不等式可化為：，即，

而當(dāng)時(shí)，，

所以，所以，

故不等式可化為，

由（2）可知在上為增函數(shù)，所以，

即在上恒成立，

令，即成立即可．

①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

則解得，所以，

②當(dāng)即時(shí)，有

解得，而，所以，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是