Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為60°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$，是△ABC以BC為斜邊的直角三角形，則m=-11．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，根據$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$列方程解出m即可．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（m-1）$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$．
∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$．
即（$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$）•[（m-1）$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$]=（1-m）${\overrightarrow{a}}^{2}$-2${\overrightarrow}^{2}$+（m+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．
∵${\overrightarrow{a}}^{2}$=4，${\overrightarrow}^{2}$=9，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2×3×cos60°=3，
∴4（1-m）-18+3（m+1）=0，
解得m=-11．
故答案為：-11．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，向量垂直與數量積的關系，屬于中檔題．