Question

5．函數(shù)y=$\sqrt{1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}}$的定義域[-1，3]，值域[0，$\frac{4\sqrt{5}}{9}$]．

Answer 1

分析 由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0得到指數(shù)不等式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次不等式求解定義域；求解x²-2x-3的范圍，得到${3}^{{x}^{2}-2x-3}≥{3}^{-4}$，則函數(shù)值域可求．

解答 解：由$1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}≥0$，得${3}^{{x}^{2}-2x-3}≤1$，
即x²-2x-3≤0，解得：-1≤x≤3．
∴函數(shù)y=$\sqrt{1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}}$的定義域?yàn)閇-1，3]；
∵x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
∴${3}^{{x}^{2}-2x-3}≥{3}^{-4}$，
∴$-{3}^{{x}^{2}-2x-3}≤-{3}^{-4}$，
則$1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}≤1-\frac{1}{81}=\frac{80}{81}$．
∴函數(shù)y=$\sqrt{1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}}$的值域?yàn)閇0，$\frac{4\sqrt{5}}{9}$]．
故答案為：[-1，3]；[0，$\frac{4\sqrt{5}}{9}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域及其值域的求法，求解x²-2x-3的范圍是求解該題值域的關(guān)鍵，是中檔題．