Question

已知數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，b₁=1且點（n，S_n+n+2）在函數(shù)f（x）=log₂x-1的反函數(shù)y=f^-1（x）的圖象上．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，．
（Ⅰ）求b_n；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由y=log₂x-1，可得x=2^y+1，故反函數(shù)為f^-1（x）=2^x+1，所以有S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，再由前n項和與通項的關(guān)系求得b_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）根據(jù)，可得，從而有，所以，從而有，變形可得結(jié)論．
（Ⅲ）注意討論，當n=1時成立，當n≥2時，由（Ⅱ）知
==
=
===2（）再放縮求解．
解答：解：（Ⅰ）令y=log₂x-1，則x=2^y+1，故反函數(shù)為f^-1（x）=2^x+1，
∴S_n+n+2=2ⁿ⁺¹，則S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，（2分）
n≥2時，S_n-1=2ⁿ-n-1，∴S_n-S_n-1=2ⁿ-1，即b_n=2ⁿ-1（n≥2），b₁=1滿足該式，故b_n=2ⁿ-1．（4分）
（Ⅱ）證明：∵，
∴，，
∴，從而，
∴．（8分）
（Ⅲ）證明；b₁=1，b₂=3，a₁=1，a₂=3，
當n=1時，左邊==右邊．（9分）
當n≥2時，由（Ⅱ）知
==
=
==．（11分）
而．
當k≥2時，=
∴
=，
∴．（14分）
點評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)，不等式的綜合運用，主要涉及了求反函數(shù)，數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系以及放縮法，裂項法等．