Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n是數列{a_n}的前n項和，且4S_n=a_n²+2a_n-3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，解得a₁=3，由此能夠推出數列{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，所以a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由題意知T_n=3×2¹+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，2T_n=3×2²+5×2³+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹，二者相減可得到T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．
解答：解：（1）當n=1時，，解出a₁=3，
又4S_n=a_n²+2a_n-3①
當n≥2時4s_n-1=a_n-1²+2a_n-1-3②
①-②4a_n=a_n²-a_n-1²+2（a_n-a_n-1），即a_n²-a_n-1²-2（a_n+a_n-1）=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴數列{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）T_n=3×2¹+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ③
又2T_n=3×2²+5×2³+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹④
④-③T_n=-3×2¹-2（2²+2³++2ⁿ）+（2n+1）2ⁿ⁺¹-6+8-2•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ⁺¹=（2n-1）•2ⁿ+2
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．