Question

21.    設(shè)函數(shù)f(x)= │x²-4x-5│

(1)  在區(qū)間[-2,6]上畫出函數(shù)f(x)的圖像;

(2)  設(shè)集合A={x│f(x)≥5},B=(-∞, -2)∪[0,4]∪[6, +∞),試判斷集合A和B之間的關(guān)系,并給出證明;

(3)  當(dāng)k>0時,求證:在區(qū)間[-1,5]上,y=k(x+3) 的圖像位于函數(shù)f(x) 圖像的上方.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

21.

 [解](1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                     

 

 

 

 

(2)方程f(x)=5的解分別是2-,0, 2+,由于f(x)在(-∞, -1]和[2,5]上單調(diào)遞減,在

[-1,2]和[5,+ ∞)上單調(diào)遞增,因此

A=(-∞, 2-]∪[0,4]∪[2+, ∞).                  

由于2+<6, 2->-2, ∴BA                         

   (3) [解法一]當(dāng)x∈[-2,5]時,f(x)=-x²+4x+5,

     G(x)=k(x+3)-(-x²+4x+5)=x+(k-4)x+(3k-5)

        =(x-)²-                        

∵k>2, 

∴<1,又-1≤x≤5,

①  當(dāng)-1≤<1,即2時,取x=.

 

g(x)_mix==-[(k-10)²-64].

 

∵16≤(k-10)²<64  ∴(k-10)²-64<0

 

則g(x)_mix>0                                            

 

②當(dāng)<-1,即k>6時,取x=-1,

 

g(x)_mix=2k>0.

   由①②可知,當(dāng)k>2時,g(x)>0, x∈[-1,5].

  因此,在區(qū)間[-1,5]上,y=k(x+3) 的圖像位于函數(shù)f(x) 圖像的上方. 

 

[解法二]當(dāng)x∈[-1,5]時, f(x)=-x²+4x+5.

由     y=k(x+3)

       f(x)=-x²+4x+5    得x+(k-4)x+(3k-5)=0.

令△=(k-4)²-4(3k-5)=0,解得 k=2或k=18,                  

在區(qū)間[-1,5]上,當(dāng)k=2時, y=2(x+3) 的圖像與函數(shù)f(x) 的圖像只交于一點(1,8);

當(dāng)k=18時, y=18(x+3) 的圖像與函數(shù)f(x) 的圖像沒有交點.   

如圖可知,由于直線y=k(x+3)過點(-3,0), 當(dāng)k>2時, 直線y=k(x+3)是由直線y=2(x+3)繞點(-3,0)逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此,在區(qū)間[-1,5]上,y=k(x+3) 的圖像位于函數(shù)f(x) 圖像的上方.