Question

各項均為正數的等比數列，，，單調增數列的前項和為，，且（）．

（Ⅰ）求數列、的通項公式；

（Ⅱ）令（），求使得的所有的值，并說明理由．

（Ⅲ) 證明中任意三項不可能構成等差數列．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），（Ⅱ）所有的值為1，2，3，4，理由見解析（Ⅲ)證明見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設等比數列的公比為，

∵=，，=4，

∵，∴，∴.                                     ……3分

∴

∵+2　            ①

當時，+2 ②

①-②得，即，

∵ ∴=3，

∴是公差為3的等差數列．

當時，+2，解得=1或=2，

當=1時，，此時=7，與矛盾；

當時，此時此時=8=，

∴．　                                                    ……6分

（Ⅱ）∵，∴＝，

∴=2>1，=＞1，,，，

下面證明當時，

事實上，當時，＝＜0

即，∵， ∴當時，，

故滿足條件的所有的值為1，2，3，4．                        ……11分

(Ⅲ)假設中存在三項(,∈N*)使構成等差數列，

∴，即，∴．

因左邊為偶數，右邊為奇數，矛盾．

∴假設不成立，故不存在任意三項能構成等差數列．                     ……16分

考點：本小題主要考查等差數列和等比數列的混合運算、求解不等式和探索性問題的解決，考查學生分類討論思想的應用和運算求解能力.

點評：等差數列和等比數列是兩類最重要的數列，它們的基本量的運算要靈活掌握，另外，探索性問題通常都是先假設成立，再根據題意求解，如果求出符合要求的值就是存在的，如果求不出符合要求的解，就不存在.