Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+b的值域為[0，+∞），且a＞b，則$\frac{a-b}{{a}^{2}+^{2}}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得判別式為0，即為4-4ab=0，即ab=1，又$\frac{a-b}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{a-b}{（a-b）^{2}+2ab}$=$\frac{a-b}{（a-b）^{2}+2}$=$\frac{1}{（a-b）+\frac{2}{a-b}}$，再由基本不等式計算即可得到最大值．

解答 解：二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+b的值域為[0，+∞），
可得判別式為0，即為4-4ab=0，
即ab=1，（a＞b＞0），
則$\frac{a-b}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{a-b}{（a-b）^{2}+2ab}$=$\frac{a-b}{（a-b）^{2}+2}$
=$\frac{1}{（a-b）+\frac{2}{a-b}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{（a-b）•\frac{2}{a-b}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a-b=$\sqrt{2}$，即a=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$時，
取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查基本不等式的運用，屬于中檔題．