Question

設拋物線上與點A（6，0）距離最近的點為N，點N的縱坐標與橫坐標的差為c。已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x+c在x=±1處取得極值。
（1）討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；
（2）過點P（0，16）作y=f（x）的切線，求此切線的方程。

Answer 1

解：（1）設N（x，y）為拋物線上一點，則，
|MA|與|MA|²同時取到極值，
令，
由得x=2，
而當+∞或-∞時，，
∴此時x=2，y=2，
即拋物線上與點A（6，0）距離最近的點N（2，2），
∴c=0，，
∴，
依題意，得，
即，解得：，
∴，
令，得x=1或x=-1；
若，得x>1或x<1；
若，得-1<x<1，
所以在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，

（2）曲線方程為，點P（0，16）不在曲線上，
設切點Q（x₀，y₀），則點Q的坐標滿足，
，
故切線的方程為，
因為點P在切線上，
∴，
化簡，得，解得：，
所以，切點為Q（-2，-2），
所以切線的方程為。