Question

18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且acosB-（2c-b）cosA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinC（1-2cosA）=0，結(jié)合范圍0＜C＜π，可得$cosA=\frac{1}{2}$，又結(jié)合0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由已知及余弦定理4=b²+c²-bc≥bc，可得bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)，取“=”，由三角形面積公式即可得解．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）因?yàn)閍cosB-（2c-b）cosA=0，
由正弦定理得：sinAcosB-（2sinC-sinB）cosA=0，
所以可得：sinC（1-2cosA）=0．…（2分）
因?yàn)?＜C＜π，所以sinC＞0，…（4分）
所以$cosA=\frac{1}{2}$，又0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$．…（7分）
（2）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
所以4=b²+c²-bc≥bc，所以bc≤4，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，上式取“=”，…（10分）
所以△ABC面積為$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\sqrt{3}$，
所以△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．