Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求

an

an+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）分別令n=2，3代入a_n+1=-a_n+3ⁿ，即可求得a₂，a₃的值；
（2）由a_n+1=-a_n+3ⁿ，變形得a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），得到數(shù)列{a_n-

3n

4

}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式的求法，可求得該數(shù)列的通項公式，進而可以求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）將（2）求得的結(jié)果代入，對n分奇偶討論，借助數(shù)列的單調(diào)性即可求得

an

an+1

的最大值．

解答：解：（1）由a₁=0，且a_n+1=-a_n+3n（n=1，2，3）
得a₂=-a₁+3=3，
a₃=-a₂+3²=6．
（2）由a_n+1=-a_n+3ⁿ變形得
a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），
∴{a_n-

3n

4

}，是首項為a₁-

3

4

=-

3

4

公比為-1的等比數(shù)列
∴a_n-

3n

4

=-

3

4

（-1）^n-1
∴a_n=

3n

4

+（-1）ⁿ•

3

4

（n=1，2，3…）
（3）①當n是偶數(shù)時

an

an+1

=

3n 4 + 3 4

3n+1 4 - 3 4

=

3n+3

3n+1-3

=

1

3

+

4

3n+1-3

∴

an

an+1

隨n增大而減少
∴當n為偶數(shù)時，

an

an+1

最大值是

1

2

．
②當n是奇數(shù)時

an

an+1

=

3n 4 - 3 4

3n+1 4 + 3 4

=

3n-3

3n+1+3

=

1

3

-

4

3n+1+3

∴

an

an+1

隨n增大而增大且

an

an+1

=

1

3

-

4

3n+1+3

＜

1

3

＜

1

2

綜上

an

an+1

最大值為

1

2

．

點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的指定項和構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．特別是（3）的設(shè)置，增加了題目的難度，對n分奇偶討論，體現(xiàn)了討論的思想方法，并根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值．