Question

如圖,在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分別是BB₁、CD的中點.

(1)證明AD⊥D₁F；

(2)求AE與D₁F所成的角；

(3)證明平面AED⊥平面A₁FD₁.

Answer 1

思路解析：(1)欲證線線垂直,先證線面垂直.易得AD⊥面D₁DCC₁,又D₁F在平面上,所以AD⊥D₁F.(2)求異面直線所成的角應(yīng)先轉(zhuǎn)化為求共面直線所成的角,方法是在其中一條直線所在平面內(nèi)作另一條直線的平行線后求它們所成的角.(3)欲證面面垂直,可先證線面垂直.設(shè)法證明AE垂直于平面A₁FD₁,這又要轉(zhuǎn)化為證線線垂直,即證明AE與平面A₁FD₁內(nèi)兩條相交直線A₁D₁、D₁F分別垂直即可,這利用第(2)題的結(jié)論不難證明.此外，由于本題易建立空間右手直角坐標系，所以還可用坐標法求解.

解法一：(1)證明：由正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁,可得AD⊥面D₁DCC₁.

∵D₁F面D₁DCC₁,∴AD⊥D₁F.

(2)解：如圖,取AB的中點G,則易證得A₁G∥D₁F.

又正方形A₁ABB₁中,E、G分別是對應(yīng)邊的中點,

∴A₁G⊥AE.∴D₁F⊥AE.

∴AE與D₁F所成的角為90°.

(3)證明：由正方體可知A₁D₁⊥面A₁ABB₁,∴A₁D₁⊥AE.

又由(2)已證D₁F⊥AE.

∵A₁D₁∩D₁F=D₁,∴AE⊥平面A₁FD₁.

又AE平面AED,∴平面AED⊥平面A₁FD₁.

解法二：(1)證明：以D為原點，DA、DC、DD₁的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立坐標系.設(shè)正方體的棱長為1，得下列坐標：A(1,0,0),D(0,0,0),D₁(0,0,1),E(1,1,),F(0,,0),A₁(1,0,1).

∵=(-1,0,0), =(0,,-1),

∴·=(-1,0,0)·(0,,-1)=0,∴AD⊥D₁F.

(2)解：∵=(0,1,),=(0,,-1),

∴cos〈,〉=

∴〈,〉=90°,

即AE與D₁F所成的角是90°.

(3)設(shè)平面AED的法向量為m=(x,y,1)，則m·=(x,y,1)·(1,0,0)=0,m·=(x,y,1)·(1,1,)=0,

即所以m=(0,-,1)為平面AED的法向量.

同理，設(shè)平面A₁FD₁的法向量為n=(x,y,1)，則

n·=(x,y,1)·(-1,0,0)=0,n·=(x,y,1)·(0,,-1)=0.

可得n=(0,2,1)為平面A₁FD₁的法向量.

∵m·n=(0,-,1)·(0,2,1)=0,∴m⊥n,

即平面AED⊥平面A₁FD₁.

誤區(qū)警示  解答這類題時可能會出現(xiàn)如下問題而導(dǎo)致解題失�。哼壿嬐评聿磺逦�；定理使用不熟悉,記錯使用定理的條件.