Question

3．已知函數(shù)f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）．
（1）若函數(shù)y=af（x）-b的最大值為4，最小值為2，求a，b的值；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得則$\left\{\begin{array}{l}{2|a|-b=4}\\{-2|a|-b=2}\end{array}\right.$，由此求得a，b的值．
（2）由題意可得，當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，m≥1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 恒成立，求得1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 的最大值，可得m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），
若函數(shù)y=af（x）-b的最大值為4，最小值為2，則$\left\{\begin{array}{l}{2|a|-b=4}\\{-2|a|-b=2}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{|a|=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
故a=±$\frac{1}{2}$，b=-3．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，即m[f（x）+2]≥f（x）．
由于當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，∴f（x）+2＞0．
故有 m≥$\frac{f（x）}{f（x）+2}$=$\frac{f（x）+2-2}{f（x）+2}$=1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 恒成立．
由于1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 的最大值為 1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，∴m≥$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．