Question

若曲線y=a|x|與y=x+a(a＞0)有兩個公共點，求a的取值范圍.

Answer 1

解法一：由

得a|x|=x+a                                                                   ①

（1）若x≥0時，ax=x+a(a-1)x=a.

因為a＞0,x=(a=1時無解)，所以a＞1;

（2）若x＜0,-ax=x+a-(a+1)x=a.

因為a＞0,x=-＜0,可得a＞0或a＜-1(舍去).

由（1）（2）知，當a＞1時，方程組①有兩解-和,即方程組有兩解，故兩曲線有兩個公共點，a取值范圍為a＞1.

解法二：y=a|x|的曲線是關于y軸對稱且頂點在原點的折線C，而y=x+a表示斜率為1且過點（0，a）的直線l.由下圖所示可知，當a≤1時，折線C的右支射線與直線l不相交，當a＞1時，l與C的兩條射線都相交.所以兩曲線有兩個相異交點，a的取值范圍為a＞1.