Question

1．如圖，菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，點H是線段EF的中點．
（1）求證：FD∥平面AHC；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四邊形ABEF為菱形，可得AB∥EF，得到EF∥CD．結(jié)合H是EF的中點，AB=2CD，得CD=FH，可得四邊形CDFH為平行四邊形，從而得到DF∥CH．再由線面平行的判定可得FD∥平面AHC；
（2）由平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，可得DA⊥平面ABEF，結(jié)合已知可得四棱錐C-ABEF的高DA=2，三棱錐F-ADC的高AH=$\sqrt{3}$．然后由V_ABCDEF=V_C-ABEF+V_F-ADC求得多面體ABCDEF的體積．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB∥CD，
∵四邊形ABEF為菱形，∴AB∥EF，則EF∥CD．
∵H是EF的中點，AB=2CD，∴CD=FH，
∴四邊形CDFH為平行四邊形，則DF∥CH．
∵DF?平面AHC，HC?平面AHC，
∴FD∥平面AHC；
（2）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABEF，
∵DC∥AB，∴四棱錐C-ABEF的高DA=2，
∵∠ABE=60°，四邊形ABEF為邊長是4的菱形，
∴可求三棱錐F-ADC的高AH=2$\sqrt{3}$．
∴V_ABCDEF=V_C-ABEF+V_F-ADC=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{3}×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2\sqrt{3}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．