Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，．
（1）證明：a_n＞n（n≥3）；
（2）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟直接證明a_n＞n（n≥3）即可；
（2）利用（1）證明的結果，通過類比推理證明．
解答：證明：（1）①因為a₁=2，a₂=2，所以．
②假設n=k（k≥3）時不等式成立，即a_k＞k（k≥3）；
那么，當n=k+1時，因為，
所以，．這就是說n=k+1時，不等式也成立，
由①②數(shù)學歸納法知，當n≥3時a_n＞n．…（5分）
（2）由（1）知，，得，
所以．所以，即，
所以，以此類推，得，問題得證．…（10分）
點評：本題考查數(shù)學歸納法的證明方法的應用，類比推理的應用，考查數(shù)學歸納法的證明步驟邏輯推理能力的考查．