Question

18．過點(diǎn)P（2，2）作圓x²+y²=4的切線，則切線方程是y=2或x=2．

Answer 1

分析 首先，圓x²+y²=4的圓心為原點(diǎn)，半徑為2，然后討論：當(dāng)過點(diǎn)（2，2）的直線斜率不存在時(shí)，方程是x=2，通過驗(yàn)證圓心到直線的距離，得到x=2符合題意；當(dāng)過點(diǎn)（2，2）的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-2=k（x-2），根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑1，建立關(guān)于k的方程，解之得k，進(jìn)而得到直線的方程．最后綜合可得答案．

解答 解：圓x²+y²=4的圓心為原點(diǎn)，半徑為2
（1）當(dāng)過點(diǎn)（2，2）的直線垂直于x軸時(shí)，
此時(shí)直線斜率不存在，方程是x=2，
因?yàn)閳A心O（0，0）到直線的距離為d=2=r，所以直線x=2符合題意；
（2）當(dāng)過點(diǎn)（2，2）的直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y-2=k（x-2）
即kx-y-2k+2=0
∵直線是圓x²+y²=4的切線
∴點(diǎn)O（0，0）到直線的距離為d=$\frac{|-2k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解之得k=0
此時(shí)直線方程為y=2，
∴切線方程為y=2或x=2．
故答案為：y=2或x=2．

點(diǎn)評(píng) 借助于求過圓外一個(gè)定點(diǎn)的圓的切線方程的問題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．