Question

10．如圖，已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為$（{1，\sqrt{3}}）$，OD⊥MN交MN于點(diǎn)D，OM⊥ON，拋物線的焦點(diǎn)為F．
（1）求p的值；（2）記條件（1）所求拋物線為曲線C，過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設(shè)l₁與曲線C相交于點(diǎn)A，B，l₂與曲線C相交于點(diǎn)D，E，求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由OM⊥ON，得x₁x₂+y₁y₂=0，由$x+\sqrt{3}y-4=0$與y²=2px消去x，得${y^2}+2\sqrt{3}py-8p=0$，利用韋達(dá)定理，即可求p的值；
（2）設(shè)出直線l₁的方程，理想直線和拋物線的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出兩根之和和兩根之積，同理可求出直線l₂的方程與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EB}$，利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．

解答 解：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由OM⊥ON，得x₁x₂+y₁y₂=0
由已知得直線MN的方程是$y-\sqrt{3}=-\frac{1}{{\sqrt{3}}}（{x-1}）$即$x+\sqrt{3}y-4=0$，
則有$（{4-\sqrt{3}{y_1}}）（{4-\sqrt{3}{y_2}}）+{y_1}{y_2}=0$，即${y_1}{y_2}-\sqrt{3}（{{y_1}+{y_2}}）+4=0$①
由$x+\sqrt{3}y-4=0$與y²=2px消去x，得${y^2}+2\sqrt{3}py-8p=0$②
所以${y_1}+{y_2}=-2\sqrt{3}p，{y_1}{y_2}=-8p$③
把③代入①得$-8p-\sqrt{3}•（{-2\sqrt{3}p}）+4=0$，解得p=2
當(dāng)p=2時(shí)方程②成為${y^2}+4\sqrt{3}y-16=0$，顯然此方程有實(shí)數(shù)根
所以p=2；
（2）由（1）知拋物線方程為y²=4x
由題意知，直線l₁的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l₁的方程為y=k（x-1）．
得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是
x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴l(xiāng)₂的斜率為-$\frac{1}{k}$．
設(shè)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1．
$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EB}$=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₃x₄+（x₃+x₄）+1
=1+（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）+1+1+（2+4k²）+1
=8+4（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）≥8+4×2=16．
當(dāng)且僅當(dāng)k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±1時(shí)，取最小值16．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)難題．考查直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．