Question

已知函數(shù)f（x）=ax+bsinx，當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（x）取得極小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=f（x）．若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；
②對任意x∈R都有g(shù)（x）≥f（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．試證明：直線l：y=x+2為曲線S：y=ax+bsinx“上夾線”．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax+bsinx，
∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得：

a+ 1 2 b=0 π 3 •a+ 3 2 b= π 3 - 3

，
∴a=1，b=-2，
此時(shí)f（x）=x-2sinx，
∴f′（x）=1-2cosx，
當(dāng)x∈（0，

π

3

）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)∈（

π

3

，

π

2

）時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（x）取得極小值

π

3

-

3

，
即a=1，b=-2符合題意；
（2）證明：由f′（x）=1-2cosx=1，得cosx=0，
當(dāng)x=-

π

2

時(shí)，cosx=0，此時(shí)y₁=x+2=-

π

2

+2，y₂=x-2sinx=-

π

2

+2，
∴y₁=y₂，
∴（-

π

2

，-

π

2

+2）是直線l與曲線S的切點(diǎn)；
當(dāng)x=

3π

2

時(shí)，cosx=0，此時(shí)y₁=x+2=

3π

2

+2，y₂=x-2sinx=

3π

2

+2，
∴y₁=y₂，
∴（

3π

2

，

3π

2

+2）也是直線l與曲線S的切點(diǎn)；
∴直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)，
對任意x∈R，g（x）-f（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0
即g（x）≥f（x），因此直線l：y=x+2為曲線S：y=x-2sinx“上夾線”．