Question

11．在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-3，若以極點O為原點，極軸所在的直線為x軸建立平面直角坐標系
（1）求圓C的參數方程；
（2）在直角坐標系中，點P（x，y）是圓C上的動點，試求x+2y的最大值，并求出此時點P的直角坐標；
（3）已知$l：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}t}}{2}\end{array}\right.（t$為參數），曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$為參數），若版曲線C₁上各點恒坐標壓縮為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲線C₂，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）因為ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-3，利用互化公式可得普通方程，再利用平方關系即可得出所求圓C的參數方程．
（2）設x+2y=t，得x=t-2y代入x²+y²-4x-4y+3=0，整理得5y²+4（1-t）y+t²-4t+3=0，則關于y的方程必有實數根，△≥0，解得t的最大值代入即可得出x+2y的最大值．
（3）C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ\end{array}\right.（θ$為參數），可得點P的坐標，即可得出點P到直線l的距離，利用三角函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）因為ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-3，所以x²+y²-4x-4y+3=0，
即（x-2）²+（y-2）²=5為圓C的普通方程，
所以所求圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosθ\\ y=2+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.（θ$為參數）．
（2）設x+2y=t，得x=t-2y代入x²+y²-4x-4y+3=0
整理得5y²+4（1-t）y+t²-4t+3=0，則關于y的方程必有實數根，
所以△=16（1-t）²-20（t²-4t+3）≥0，化簡得t²-12t+11≤0，
解得1≤t≤11，即x+2y的最大值為11，
將t=11代入方程，得y²-8y+16=0，解得y=4，代入x+2y=11得x=3，
故x+2y的最大值為11時，點P的直角坐標為（3，4）．
（3）C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ\end{array}\right.（θ$為參數），故點P的坐標是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，
從而點P到直線l的距離是$d=\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\sqrt{3}}|}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}[\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+2]$，
由此當$sin（θ-\frac{π}{4}）=-1$時，d取得最小值，且最小值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}（\sqrt{2}-1）$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、三角函數求值、點到直線的距離公式、一元二次方程與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．