Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，a_na_n+1=n（n-1）（a_n+1-a_n），且a₁=0，a₂=1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=2 an-34，求數(shù)列{|b_n|}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a₁=0，a₂=1，依題意只需證明?n∈N^*，只需證an2+an-n(n-1)=0，即只需證a_n=n-1或a_n=-n，由此利用分析法能證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）由a_n=n-1，知bn=2n-1-34，由此能求出數(shù)列{|b_n|}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：∵a₁=0，a₂=1，依題意只需證明?n∈N^*，
a_n+1-a_n=a₂-a₁=1，…（1分）
∵a_na_n+1=n（n-1）（a_n+1-a_n），
∴an+1=

n(n-1)an

n(n-1)-an

，n＞1，
∴只需證an+1-an=

an2

n(n-1)-an

=1，n＞1．…（3分）
即只需證an2=n(n-1)-an，即只需證an2+an-n(n-1)=0，
即只需證a_n=n-1或a_n=-n，…（5分）
∵a_n=-n不符合a₂=1，∴只需證a_n=n-1．
數(shù)列{n-1}是等差數(shù)列，且滿足a₁=0，a₂=1，以上各步都可逆
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列 …（7分）
（2）解：由（1）可知a_n=n-1，∴bn=2n-1-34，…（8分）
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，
數(shù)列{2^n-1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{34}是常數(shù)列
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1-2n

1-2

-34n=2ⁿ-34n-1，…（9分）
令bn=2n-1-34＞0，∴n＞6，∵數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列
∴數(shù)列{b_n}前6項為負，以后各項為正 …（10分）
∴當(dāng)n≤6時，S_n=-T_n=-2ⁿ+34n+1，…（11分）
當(dāng)n＞6時，S_n=T_n-2T₆=2ⁿ-34n-283．…（12分）
∴Sn=

-2n+34n+1，n≤6 2n-34n-283，n＞6

．…（13分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．