Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）證明f（0）=1；

（2）證明對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）證明函數(shù)y=f（x）是R上的增函數(shù).

Answer 1

思路解析：本題抽象函數(shù)的原型函數(shù)即為指數(shù)函數(shù)，可借助y=2^x理清解答的思路和方法.

證明：（1）取a=b=0，則f（0）=f²（0）.

∵f（0）≠0，∴f（0）=1.

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥1＞0成立，當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，∴f（x）=＞0.

∴x∈R時，恒有f（x）＞0.

（3）法一：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0.

∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）·f（x₁）.

∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1.

又f（x₁）＞0，∴f（x₂-x₁）·f（x₁）＞f（x₁）.

∴f（x）是R上的增函數(shù).

法二：設(shè)x₂=x₁+t（t＞0），f（x₂）=f（x₁+t）=f（x₁）·f（t）＞f（x₁）.或者設(shè)x₁＜x₂，則＞1.

又f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，

∴f（x₂）＞f（x₁）.