Question

1．已知矩陣$A=[{\begin{array}{l}1&{-1}\\ a&1\end{array}}]$，其中a∈R，若點P（1，1）在矩陣A的變換下得到點P（0，-1），求矩陣A的兩個特征值．

Answer 1

分析 由點P（1，1）在矩陣A的變換下得到點P（0，-1），列出矩陣方程求出a，由此能求出矩陣A的兩個特征值．

解答 解：∵矩陣$A=[{\begin{array}{l}1&{-1}\\ a&1\end{array}}]$，其中a∈R，
點P（1，1）在矩陣A的變換下得到點P（0，-1），
∴$[{\begin{array}{l}1&{-1}\\ a&1\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]=[{\begin{array}{l}0\\{a+1}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}0\\{-1}\end{array}}]$，
∴a+1=1，即a=-2，
∴特征多項式$|\begin{array}{l}{λ-1}&{1}\\{2}&{λ-1}\end{array}|$=（λ-1）²-2=0，
解得$λ=1±\sqrt{2}$，
∴矩陣A的兩個特征值為${λ}_{1}=1-\sqrt{2}，{λ}_{2}=1+\sqrt{2}$．

點評 本題考查矩陣的特征值的求法，考查矩陣的特征向量、特征值等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．