Question

8．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD₁∥平面PAC；
（2）求證：直線PB₁⊥平面PAC．
（3）求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形的中位線，得到線線平行，進(jìn)一步利用線面平行的判定定理得到結(jié)論．
（2）利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理和勾股定理得逆定理得到線線垂直，進(jìn)一步利用線面垂直的判定得到結(jié)論．
（3）利用等體積法，求三棱錐B-PAC的體積．

解答 （1）證明：設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連PO，
由P，O分別是DD₁，BD的中點(diǎn)，故PO∥BD₁，
所以直線BD₁∥平面PAC-------------------------（5分）
（2）證明：PC²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．
所以PB₁⊥PC，----------（8分）
同理PB₁⊥PA，所以直線PB₁⊥平面PAC．--------（10分）
（3）解：因?yàn)镻為中點(diǎn)，所以PD=1，易知△ABC為直角三角形，且AB=BC=1，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB×BC=\frac{1}{2}⇒{V_{B-PAC}}={V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×PD=\frac{1}{6}$-----（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，考查求三棱錐B-PAC的體積，屬于中檔題．