Question

已知a＞0,b＞0,a+b=1,求證：(a+)(b+)≥.

Answer 1

思路分析：本題不能由(a+)≥2，(b+)≥2求解.因?yàn)榇藘墒疆?dāng)且僅當(dāng)a=1,b=1時(shí)成立，而由a+b=1這顯然是不可能的，由要證的結(jié)論不易看出解題思路，可先將左邊展開(kāi)，進(jìn)行“拆”“配”.

證明：左=(a+)(b+)=ab+=()²+++2.

∵a＞0,b＞0,∴+≥2,又∵a＞0,b＞0,a+b=1,∴a+b≥.

≤,≥2,-≥,∴(-)≥,

∴(-)²≥,

∴左≥2+2+=（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)）.

方法歸納

    一般的，數(shù)學(xué)中的定理、公式揭示了若干變量之間的本質(zhì)聯(lián)系，但不能定格于特殊形式，因此在解答數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，把數(shù)值、數(shù)式合理地拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者恒等地配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，是數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)變形過(guò)程中常用的方法，這也是一種解題技巧.