Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
（1）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．

Answer 1

分析 （1）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）利用三角恒等變換化簡g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得它的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，可得函數(shù)的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1=$\frac{1}{2}$•4${sin}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$-2sin（2x+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1
=2${sin}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1
=-2•${cos}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）+1=-2•${[cos（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}]}^{2}$+$\frac{3}{2}$．
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故當cos（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$時，g（x）取得最大值為$\frac{3}{2}$；
當cos（2x+$\frac{π}{6}$）=1時，g（x）取得最小值為-3，
故函數(shù)g（x）的值域為[-3，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．