Question

9．設函數f（x）=lnx+x²-2mx+m²，m∈R．
（Ⅰ） 當m=0時，求函數f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ） 若函數f（x）在[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$]上存在單調遞增區(qū)間，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ） 若函數f（x）存在極值點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代人m值，利用導函數得出單調性，根據單調性求出最小值；
（Ⅱ）求出導函數，構造函數g（x）=2x²-2mx+1，根據二次函數的性質可知只需g（$\frac{3}{2}$）＞0，或g（$\frac{2}{3}$）＞0即可．解不等式求并集即可；
（Ⅲ）利用間接法，求出反面函數f（x）不存在極值點m的范圍，再求補集即可．

解答 （Ⅰ） 解：當m=0時，f（x）=lnx+x²，其定義域為（0，+∞），f'（x）=$\frac{1}{x}$+2，
所以f（x）在[1，3]上是增函數，當x=1時，f（x）取得最小值f（1）=1．
故函數f（x）在[1，3]上的最小值為1．
（Ⅱ） 解：依題意，可知f'（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2m=$\frac{2{x}^{2}-2mx+1}{x}$，
設g（x）=2x²-2mx+1，則區(qū)間[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$]上存在子區(qū)間使得不等式g（x）＞0成立．
因為函數g（x）的圖象是開口向上的拋物線，
所以只要g（$\frac{3}{2}$）＞0，或g（$\frac{2}{3}$）＞0即可．
由g（$\frac{2}{3}$）＞0，即$\frac{2}{9}$-$\frac{4}{3}$m+1＞0，解得m＜$\frac{11}{12}$，
由g（$\frac{3}{2}$）＞0，即$\frac{9}{2}$-3m+1＞0，解得m＜$\frac{11}{6}$，
因此，實數m的取值范圍是（-∞，$\frac{11}{6}$）．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可知f'（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2m，
假設函數f（x）不存在極值點，
∴函數f（x）定義域內恒單調，
∴f'（x）≥0恒成立，
∴$\frac{1}{x}$+2x-2m≥0恒成立，
∴m≤$\sqrt{2}$，
∴若函數存在極值點m的取值范圍是（$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 考查了利用導函數判斷函數的單調性問題和利用構造法，結合二次函數的圖象，利用轉化的方法解決實際問題．