Question

甲、乙兩地相距s km,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c km/h,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(km/h)的平方成正比,比例系數(shù)為b;固定部分為a元.

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;

(2)為了使全程運輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛?

Answer 1

思路分析:本題根據(jù)題意易給出函數(shù)的表達式和定義域,只是在第二問求最值時應(yīng)考慮使f′(x₀)=0的點x₀是否為定義域內(nèi)的點,即最值是否一定在x₀處取.

解:(1)依題意汽車從甲勻速行駛到乙所用時間為,全程運輸成本為y=a·+bv²·

=s(+bv),所求函數(shù)及其定義域為

y=s(+bv),v∈(0,c］.

(2)由題意,s,a,b,v均為正數(shù).

由y′=s(b-)=0得v=,且0＜v≤c.

①若≤c,則v=是使y的導(dǎo)數(shù)為0的點,即v=時,全程運輸成本y最小;

②若＞c,且v∈(0,c］,此時y′＜0,即函數(shù)在(0,c］上為減函數(shù),∴當(dāng)v=c時,y最小.

綜上,為使全程運輸成本y最小,

當(dāng)≤c時,行駛速度v=;

當(dāng)＞c,行駛速度v=c.

    方法歸納 本題建立數(shù)學(xué)模型后,可利用導(dǎo)數(shù)求最值;其實本題也可以用函數(shù)y=x+(p＞0)的單調(diào)性求解,方法也比較靈活,注意比較.