Question

己知橢圓的焦點在x軸上，它的一個焦點與拋物線x²=4y的焦點之間的距離為

5

，離心率e=

2 5

5

，過橢圓的左焦點廠做一條與坐標軸不垂直的直線L交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點M（m，0）是線段OF₁上的一個動點，且（

MA

+

MB

）⊥

AB

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意設橢圓的右焦點（c，0 ），則由題意可得

c2+1

=

5

，求出c值，由離心率可得 a，求出b值，即得橢圓的標準方程．
（2）設直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡，把根與系數的關系代入（

MA

+

MB

）•

AB

=0，解得 m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

，再利用不等式的性質求出m的取值范圍．

解答：解：（1）拋物線的焦點為（0，1），設橢圓的右焦點（c，0 ），則由題意可得

c2+1

=

5

，
∴c=2，∴再由離心率可得 a=

5

，b=1，故橢圓的標準方程為

x2

5

+y2=1．
（2）設直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡可得  （1+5k²）x²+20k²x-5=0，
∴x₁+x₂=

-20k2

1+5k2

，x₁•x₂=

-5

1+5k2

，
∴（

MA

+

MB

）=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂ ）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）．
由（

MA

+

MB

）⊥

AB

，可得 （

MA

+

MB

）•

AB

=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
化簡可得 x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂+4）=0，∴2m=4k²-

20k2(k2+ 1)

1+5k2

，
∴m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

．∵k²＞0，∴0＜

8

1 k2 +5

＜

8

5

，
∴-

8

5

＜m＜0． 故m的取值范圍是[-

8

5

，0）．

點評：本題考查求橢圓的標準方程，兩個向量的數量積公式，不等式的性質，求出m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

，是解題的關鍵，
屬于中檔題．