Question

已知函數f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，求a的值；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由所給函數的表達式，求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等方程求a的值即可；
（2）對參數a進行分類，先研究f（x）的單調性，利用導數求解f（x）在R上的最小值問題即可，故只要先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值即得．
解答：解：f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1]（2分）
（1）f'（2）=e²[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=-3（4分）
（2）令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=-1-a
當a=0時，無極值（7分）
當a＞0，-1＞-1-a，f（x）在（-∞，-1-a），（-1，+∞）上遞增，（-1-a，-1）上遞減
極大值為f（-1-a）=e^-1-a（a+2），極小值（10分）
當a＜0時，-1＜-1-a，f（x）在（-∞，-1），（-1-a，+∞）上遞增，（-1，-a-1）上遞減
極大值為，極小值f（-1-a）=e^-1-a（a+2）（13分）
點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力．