Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin$\frac{α}{2}$，cosα），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{α}{2}$，-$\frac{1}{2}$），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$，α為銳角
（Ⅰ）求角α的大�。�
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosαsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得：sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，又α為銳角，即可求得α的值．
（Ⅱ）化簡可得：f（x）=-2sin²x+2sinx+1，令t=sinx，則y=-2t²+2t+1（-1≤t≤1），由二次函數(shù)的圖象即可求函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得：$\sqrt{3}$cos$\frac{α}{2}$sin$\frac{α}{2}$-$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{1}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=\frac{1}{2}$，
所以sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又因?yàn)棣翞殇J角，所以α=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1，令t=sinx，
則y=-2t²+2t+1（-1≤t≤1），
由二次函數(shù)的圖象可知：當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，y_max=$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=-1時(shí)，y_min=-3，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-3，$\frac{3}{2}$]…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)值域的求法，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．