Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）設點P在拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在點P處的切線與C₁交于點M，N．當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)題意，求出a，b的值，然后得出橢圓的方程．
（II）設出M，N，P的坐標，將直線代入橢圓，聯(lián)立方程組，根據(jù)△判斷最值即可．
解答：解：（I）由題意得，∴，
所求的橢圓方程為，
（II）不妨設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（t，t²+h），
則拋物線C₂在點P處的切線斜率為y'|_x=t=2t，
直線MN的方程為y=2tx-t²+h，將上式代入橢圓C₁的方程中，
得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，
因為直線MN與橢圓C₁有兩個不同的交點，
所以有△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0，
設線段MN的中點的橫坐標是x₃，
則，
設線段PA的中點的橫坐標是x₄，
則，由題意得x₃=x₄，
即有t²+（1+h）t+1=0，
其中的△₂=（1+h）²-4≥0，∴h≥1或h≤-3；
當h≤-3時有h+2＜0，4-h²＜0，
因此不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0不成立；
因此h≥1，當h=1時代入方程t²+（1+h）t+1=0得t=-1，
將h=1，t=-1代入不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0成立，因此h的最小值為1．
點評：本題考查圓錐圖象的綜合利用，橢圓方程的應用，通過構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式計算，屬于中檔題．