Question

19．某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時）．
（1）應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？
（2）根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]
①估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率P；
②假設該校每個學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率都為P，試求從中任選三人至少有一人每周平均體育運動時間超過4小時的概率
（3）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

附：K²=$\frac{n（ad-bc）2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

	男生	女生	總計
每周平均體育運動時間不超過4小時	45	30	75
每周平均體育運動時間超過4小時	165	60	225
總計	210	90	300

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分層抽樣原理計算應收集的女生數(shù)；
（2）①由頻率分布直方圖計算對應的頻率值即可；
②根據(jù)n次對立重復實驗的概率模型計算概率值；
（3）計算對應的數(shù)值，填寫列聯(lián)表，計算觀測值K²，即可得出結論．

解答 解：（1）300×$\frac{4500}{15000}$=90，所以應收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)；
（2）①由頻率分布直方圖得1-2×（0.100+0.025）=0.75，
所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75；
②假設該校每個學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率都為0.75，
從中任選三人至少有一人每周平均體育運動時間超過4小時的概率為
P=1-0.75⁴=$\frac{175}{256}$；
（3）由（2）知，300位學生中有300×0.75=225人的每周平均體育運動時間超過4小時，
75人的每周平均體育運動時間不超過4小時，
又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，
所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下：
每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表

	男生	女生	總計
每周平均體育運動時間 不超過4小時	45	30	75
每周平均體育運動時間 超過4小時	165	60	225
總計	210	90	300

結合列聯(lián)表可算得K²=$\frac{300{×（45×60-165×30）}^{2}}{210×90×75×225}$=$\frac{100}{21}$≈4.762＞3.841，
所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．

點評 本題主要考查頻率分布直方圖以及獨立性檢驗的應用問題，是綜合性題目．