Question

13．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+|x+1-2a|，其中a是實數．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，f（x）的最小值為$\frac{1}{2}{a^2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，f（x）為偶函數；當$a≠\frac{1}{2}$時，f（x）為非奇非偶的函數．運用奇偶性的定義，即可判斷；
（Ⅱ）對a討論，①若2a-1≤-1，即a≤0，②若2a-1≥1，即a≥1，③若-1＜2a-1＜1，即0＜a＜1，運用單調性，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，f（x）為偶函數；
當$a≠\frac{1}{2}$時，f（x）為非奇非偶的函數．
①當$a=\frac{1}{2}$時，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+|x|$，有f（-x）=f（x），
所以f（x）為偶函數；
②當$a≠\frac{1}{2}$時，f（0）=|1-2a|≠0，所以f（x）不是奇函數；
又因為$f（2a-1）=\frac{1}{2}{（2a-1）^2}$，而$f（1-2a）=\frac{1}{2}{（2a-1）^2}+2|1-2a|$，
即f（1-2a）≠f（2a-1），所以f（x）不是偶函數；
綜上，當$a≠\frac{1}{2}$時，f（x）既不是奇函數也不是偶函數．
（Ⅱ）①若2a-1≤-1，即a≤0，
當x∈[-1，1]時，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x+1-2a=\frac{1}{2}{（x+1）^2}+\frac{1}{2}-2a$，
故f（x）在[-1，1]上遞增，
所以$f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{1}{2}-2a$=$\frac{1}{2}{a^2}$，得$a=-2-\sqrt{5}$．
②若2a-1≥1，即a≥1，
當x∈[-1，1]時，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x-1+2a=\frac{1}{2}{（x-1）^2}-\frac{3}{2}+2a$，
故f（x）在[-1，1]上遞減，
所以$f{（x）_{min}}=f（1）=-\frac{3}{2}+2a$=$\frac{1}{2}{a^2}$，得a=1或a=3．
③若-1＜2a-1＜1，即0＜a＜1，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{（x-1）^2}-\frac{3}{2}+2a（-1≤x＜2a-1）\\ \frac{1}{2}{（x+1）^2}+\frac{1}{2}-2a（2a-1≤x≤1）\end{array}\right.$，
故f（x）在[-1，2a-1]上遞減，在[2a-1，1]上遞增；
所以$f{（x）_{min}}=f（2a-1）=2{a^2}-2a+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a^2}$，得$a=\frac{1}{3}$．
綜上，$a=-2-\sqrt{5}$或$a=\frac{1}{3}$或a=1或a=3．

點評 本題考查函數的奇偶性的判斷和函數的最值的求法，注意運用定義和分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．