Question

12．設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導(dǎo)函數(shù)為f″（x）．若在區(qū)間（a，b）上f″（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”．已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，則b-a的最大值為4．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），f^″（x）．由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，可得：在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，解得即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{12}{x}^{4}-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}$，
∴${f}^{′}（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$，
∴f^″（x）=x²-2x-3，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，
∴在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，
由x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3．
∴a=-1，b=3，
∴b-a=3-（-1）=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、“凸函數(shù)”的定義，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．