Question

19．在直徑AB=4的圓上有長度為2的動弦CD，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的最大值為2．

Answer 1

分析 建立適當的平面直角坐標系，設角度為參數，利用坐標表示與參數方程建立$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的解析式，利用三角函數求出它的最值．

解答 解：建立如圖所示平面直角坐標系，
設∠BOC=x，則∠BOD=x+$\frac{π}{3}$；
∴C（2cosx，2sinx），D（2cos（x+$\frac{π}{3}$），2sin（x+$\frac{π}{3}$）），
且A（-2，0），B（2，0）；
∴$\overrightarrow{AC}$=（2cosx+2，2sinx），
$\overrightarrow{BD}$=（2cos（x+$\frac{π}{3}$）-2，2sin（x+$\frac{π}{3}$））；
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（2cosx+2）×（2cos（x+$\frac{π}{3}$）-2）
+2sinx×2sin（x+$\frac{π}{3}$）
=4cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）-4cosx+4cos（x+$\frac{π}{3}$）
-4+4sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）
=4cos$\frac{π}{3}$-4cosx+4cos（x+$\frac{π}{3}$）-4
=-4cos（x-$\frac{π}{3}$）-2；
當cos（x-$\frac{π}{3}$）=-1時，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$取得最大值2．
故答案為：2．

點評 本題考查了平面向量的數量積應用問題，解題時應建立適當的坐標系，利用三角函數的定義與數量積的坐標運算，結合三角恒等變換求函數的最值．