Question

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，（x∈N^*），其導函數(shù)記為f_n′（x），且滿足，其中a，x₁，x₂為常數(shù)，x₁≠x₂．設函數(shù)g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無極值點，其導函數(shù)g′（x）有零點，求m的值；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f₂（x）=x²f₂'（x）=2x
∴
∴（x₁-x₂）（2a-1）=0
∵x₁≠x₂，∴；
（Ⅱ）∵f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，∴g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）
∴g′（x）=
∵函數(shù)g（x）無極值點，其導函數(shù)g′（x）有零點，
∴該零點左右g′（x）同號，
∵m≠0，∴二次方程2mx²+x-3=0有相同實根
∴△=1+24m=0
∴m=-；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，k=g′（x）=2mx-+1，k′=2m+
∵x∈[0，]，∴
∴①當-6≤m＜0或m＞0時，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，]上遞增
∴當x=時，k取得最大值，且最大值為m-5；
②當m＜-6時，由k′=0，得x=，而
若x∈，則k′＞0，k單調遞增；
若x∈，則k′＜0，k單調遞減；
故當x=時，k取得最大值且最大值為．
綜上，k_max=
分析：（Ⅰ）根據(jù)f₂（x）=x²f₂'（x）=2x，可得，化簡可求；
（Ⅱ）根據(jù)f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，可得g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）．利用函數(shù)g（x）無極值點，其導函數(shù)g′（x）有零點，可得該零點左右g′（x）同號，從而可得二次方程2mx²+x-3=0有相同實根，故可求m的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，k=g′（x）=2mx-+1，k′=2m+，，分類討論：①當-6≤m＜0或m＞0時，k′≥0恒成立，最大值為m-5；②當m＜-6時，由k′=0，得x=，而，可得x=時，k取得最大值且最大值為．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．