Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x≤1}\\{-{x}^{2}+2x+3，x＞1}\end{array}\right.$，則使得f（x）-e^x-m≤0恒成立的m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 運用參數(shù)分離的方法，分別討論當x≤1時，當x＞1時，函數(shù)f（x）-e^x的單調性和最大值的求法，注意運用導數(shù)，最后求交集即可．

解答 解：當x≤1時，f（x）-e^x-m≤0即為m≥x+3-e^x，
可令g（x）=x+3-e^x，則g′（x）=1-e^x，當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當x＜0時，g′（x）＞0，g（x）遞增．g（x）在x=0處取得極大值，也為最大值，且為2，
則有m≥2  ①
當x＞1時，f（x）-e^x-m≤0即為m≥-x²+2x+3-e^x，
可令h（x）=-x²+2x+3-e^x，h′（x）=-2x+2-e^x，由x＞1，則h′（x）＜0，
即有h（x）在（1，+∞）遞減，則有h（x）＜h（1）=4-e，
則有m≥4-e  ②
由①②可得，m≥2成立．
故選：D．

點評 本題考查不等式恒成立問題注意轉化為求函數(shù)的最值問題，同時考查運用導數(shù)判斷單調性，求最值的方法，屬于中檔題和易錯題．